こんにちは、けいタンです。
今日も高校数学の問題演習を行います。
今回の問題ジャンルについて
今回は「数A～サイコロと条件付き確率」という問題をします。
唐突ですが、「条件付き確率」っていうと、なんかとてつもなく難しそうに考える方・感じる方が結構います。
というのも、私は塾講師（数学）をしているのですが、
問題によって求める条件付き確率の難易度はもちろんのこと変わりますが、
条件付き確率はそこまで難しいものではない、と思っています。
なので、今回はサイコロがからんでくる条件付き確率の問題について考えていきましょう。
また今回は、条件付き確率をも踏まえ、確率の基本的な大事な考え方の要素が含まれている問題になりますので、
確率が苦手な方も嫌いな方も、数学が得意になりたい方も
考えるだけでもいいので問題を見てみてぜひ、チャレンジしてみてください！！
それが数学ができるようになるきっかけの一つとなれるかもしれません！
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では早速、サイコロがからむ条件付き確率の問題について見ていきましょう！
今回の問題～数A サイコロと条件付き確率（難易度☆☆…標準）
問題：数Aーサイコロと条件付き確率
3個のサイコロを同時に投げ、出た目の最大値をX、最小値をYとし、
その差X－YをZとする。このとき、
- Z=4となる確率を求めよ
- Z=4という条件のもとで、X=5となる条件付き確率を求めよ
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問題解決のためのヒント
問題を解く前に…
まずは、1番の問題について見ていく前に確認しておきたいコトがあります。
確率の問題以外にも当然ながら言えることではあるのですが、
問題を解く前にしっかりと問題文を読み、何がその要素であるのか確認していきましょう！
例えば今回の問題では、XとYとZが出てきますが、これはそれぞれ何を表しているのか、ということです。
この問題でしたら、問題分も短いので、XとYとZがそれぞれ何を表しているのか簡単に分かるでしょう。
一応確認しておきますが、
Xが「3個のサイコロを同時に投げたときの出た目の最大値」を表し、
Yが「3個のサイコロを同時に投げたときの出た目の最小値」を表し、
Zが「X－Y（最大値－最小値）」を表しますね。
そんな風に、まずは与えられた条件をうまく簡潔に整理してあげることが大切になってきます。
1番の問題について
それでは、いよいよ1番の問題について見ていきましょう。
Z=4となる確率を求めよ
…そもそもXとYはサイコロの出た目の最大値と最小値をそれぞれ表すので、
XとYの範囲を考えると、1≦X,Y≦6 となりますね。
ということはZ=4となる、つまり、X－Y＝4となるようなXとYの組み合わせを考えればいいですよね！
そして、これを考えると、（X,Y）＝（6,2）と（5,1）の2パターンがあることに気づきます。
（X,Y）＝（6,2）のとき
これは最大値が6で最小値が2の場合です。
よって、このときの考えられる3つのサイコロの組み合わせは、
(1回目に出たサイコロの目,2回目に出たサイコロの目,3回目に出たサイコロの目)と表現すると、
(6,6,2)と(6,5,2)と(6,4,2)と(6,3,2)と(6,2,2)の5つであり、
それぞれについて場合の数を見てみると、
(6,6,2)については、「(6,6,2)、(6,2,6)、(2,6,6)」の3通りあることになります。
これは順列の考え方、3!/2!としてもOKです。
同様に見ていくと、(6,5,2)＝(6,4,2)＝(6,3,2)＝3!＝6通り
(6,2,2)＝3!/2!＝3通りとなります。
よって（X,Y）＝（6,2）のときで、Z=4を満たす場合の数は3＋6＋6＋6＋3=24通りになります。
（X,Y）＝（5,1）のとき
では、先ほどと同様に考えて（X,Y）＝（5,1）のときについても見ていきます。
これは最大値が5で最小値が1の場合です。
よって、このときの考えられる3つのサイコロの組み合わせは、
(5,5,1)と(5,4,1)と(5,3,1)と(5,2,1)と(5,1,1)の5つであり、それぞれについて場合の数は、
(5,5,1)＝(5,1,1)＝3!/2!＝3通り
(5,4,1)=(5,3,1)=(5,2,1)＝3!＝6通り となります。
よって（X,Y）＝（5,1）のときで、Z=4を満たす場合の数は3＋6＋6＋6＋3=24通りになりますし、
まとめると、Z=4を満たす場合の数は24+24=48通りとなります。
よって、3個のサイコロを同時に投げたときの全体の目の出方は63=216通りなので、
求める確率が求められるはずです。
2番の問題について
ここがメインの条件付き確率の問題になりますが、
今回の問題の条件付き確率はびっくりするほど簡単なので、さっさと片づけてしまいましょう！
というのも、条件付き確率の問題については、まず初めに事象を設定するのが大切です。
例えば、事象A：Z=4となる、事象B：X=5となる といった感じでまずは事象を設定してください。
条件付き確率の公式について
そしたら、条件付き確率の公式
PA(B)=P(A∩B)/P(A)＝n(A∩B)/n(A)から、確率を求めることができます。
ではここで、少しだけこの条件付き確率の公式について説明しておきましょう。
P(A∩B)/P(A)に部分は、簡単に言葉にすると、
（Aの条件を満たし、なおかつBの条件を満たす確率）÷（Aの条件を満たす確率）となります。
また、n(A∩B)/n(A)については、
（Aの条件を満たし、なおかつBの条件を満たす場合の数）÷（Aの条件を満たす場合の数）となります。
今回だとn(A∩B)/n(A)のほうが簡単に使えますよね。
n(A∩B)…Z=4であり、X＝5でもある場合の数
n(A)…Z=4である場合の数
であるので、これらはともに1番の問題ですでに算出している値になります。
ということで、2番の条件付き確率も公式に寄り添って簡単に導くことができます！
問題の解答
毎度のこと自分なりに分かりやすく手書きで作った解答を画像で示します。
一度自分なりにある程度解いてから、答えを確認するとより理解が深まりますよ。
どのような過程で問題を解いているのかをしっかりと確認してくださいね！
まとめ～他の問題もいろいろ解いてみよう！
皆さん、やってみてどうだったでしょうか。
今回は与えられた条件をうまく整理してパターンや場合の数を求めることや
条件付き確率の公式が分かれば、
確実に解けた問題だったと思います。
とにかく、大切なことは実際に問題を解いてみて、どこが分からないのか。どこができないのか…
というように、いろいろ自分なりに考えて、そして自分の手で問題を解くことが何より、
数学ができるようになるための一つのステップになります。
とにかく、いろいろ自分なりに復習してほしいと思います。
あきらめずにコツコツ継続して学習することが最短の学力向上につながります！
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では、今回はここまでにします。
最後まで見ていただきありがとうございました。
また、明日お会いしましょう。けいタン
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