こんにちは、けいタンです。
今日も高校数学の問題演習を行います。
今回の問題ジャンルについて
今回は「数Ⅱ～点と直線の距離と三角形」という問題をします。
ここでは、中学校レベルの1次関数の小問に加え、点と直線の距離の公式を使った小問も取り上げています。
問題の難易度としては、かなり優しめのものなので、
数Ⅱの図形と方程式や点と直線の距離が苦手な方も嫌いな方も、数学が得意になりたい方も
考えるだけでもいいので問題を見てみてぜひ、チャレンジしてみてください！！
それが数学ができるようになるきっかけの一つとなれるかもしれません！
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では早速、基本的な点と直線の距離と三角形の問題について見ていきましょう！
今回の問題～数Ⅱ 点と直線の距離と三角形（難易度☆…簡単）
問題：数Ⅱー点と直線の距離と三角形
3点A(3,5)、B(5,2)、C(1,1)について以下のものを求めよ。
- 直線BCの方程式
- 線分BCの長さ
- 点Aと直線BCの距離
- △ABCの面積
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問題解決のためのヒント
1・2番の問題について
まずは簡単にでもいいので、図を描いて見ましょう。
すなわち、3点A(3,5)、B(5,2)、C(1,1)を座標平面上にプロットして、△ABCを作成しましょう。
図を描きましたら、早速ですが、さっさと問題を解いていきましょう！
まずは、1番…これは冒頭でも言ったように中学レベルですね。一応確認として見ていきましょう。
直線BCの方程式
…最初は傾きを求める必要があります。
傾き＝yの増加量/xの増加量より、
直線BCの傾き＝(2-1)/(5-1)=1/4になりますね。
あとは、y切片を求めればいいので、y切片をbおくと、y=1/4ｘ+bとなり、
この方程式にB(5,2)の座標または、C(1,1)の座標のいずれかを代入すれば、
bの値が分かり、求めたい直線BCの方程式を答えることができます。
では次に、2番の問題について…
線分BCの長さは、三平方の定理から算出することができますね。
すなわち、線分BCの長さ＝√(yの増加量)2+(xの増加量)2 ですので、
ケアレスミスに注意して、自分で計算してくださいね！
3・4番の問題について
今回のメインであるのが、3番の問題です。
点Aと直線BCの距離…メインといっても、点と直線の距離の公式を知っている方にとっては、
簡単に1発で求めることができますね。
点と直線の距離の公式は以下の通りです。（☆のところの公式）
これに基づいて、点A(3,5)と直線BC(y=1/4x+3/4…x－4y+3＝0)の距離dを求めてみてください。
ここで1つだけ気を付けてほしいことは、1番で求めた直線BCの式:y=1/4x+3/4を
少しだけ変形して、x－4y+3＝0といったように、(左辺)=0の形にしないと、
上の点と直線の距離の公式を用いることができないので、気に留めておいてください！
最期に4番の問題を、あっという間に片づけて終わりにしましょう。
△ABCの面積…これは2番と3番の値が分かれば、簡単に求めることができますね。
つまり、△ABCの面積＝1/2×BC×dなので、計算してみてください！
問題の解答
毎度のこと自分なりに分かりやすく手書きで作った解答を画像で示します。
一度自分なりにある程度解いてから、答えを確認するとより理解が深まりますよ。
どのような過程で問題を解いているのかをしっかりと確認してくださいね！
まとめ～他の問題もいろいろ解いてみよう！
皆さん、やってみてどうだったでしょうか。
多分、多くの方にとっては優しい問題だったかと思います。
今回は直線の方程式やその長さを求め、点と直線の距離の公式をしっかりと使えることができれば、
確実に解けた問題だったと思います。
とにかく、大切なことは実際に問題を解いてみて、どこが分からないのか。どこができないのか…
というように、いろいろ自分なりに考えて、そして自分の手で問題を解くことが何より、
数学ができるようになるための一つのステップになります。
とにかく、いろいろ自分なりに復習してほしいと思います。
あきらめずにコツコツ継続して学習することが最短の学力向上につながります！
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では、今回はここまでにします。
最後まで見ていただきありがとうございました。
また、明日お会いしましょう。けいタン
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