こんにちは、けいタンです。
今日は高校数学の問題演習を行います。
今回の問題ジャンルについて
今回は「数Ⅲ～意外と使えないはさみうちの原理」という問題をします。
数Ⅲの問題になるので、多少は難易度が上がりますが、
今回扱う「はさみうちの原理」は、前回取り扱った「数Ⅲ～基本的な極限値の計算」に続いて、
極限値を求める際に大切な原理です。
一方で皆さんの中にも、はさみうちの原理を使う問題に触れる機会も多くないかと思います。
そこで今回は、計算が中心ではなく、考え方をメインにはさみうちの原理をうまく使って、
極限値を算出する練習をしていきたいと思います。
なので、今回の問題も前回に引き続いて、
基本的な大事な考え方の要素が含まれている極限値を求める問題になります。
したがって、理系の方をメインに、数Ⅲの極限が苦手な方も嫌いな方も、数学が得意になりたい方も
考えるだけでもいいので、問題を見てみてぜひ、チャレンジしてみてください！！
それが数学ができるようになるきっかけの一つとなれるかもしれませんからね！
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では早速、基本的なはさみうちの原理を使う問題について見ていきましょう！
今回の問題～数Ⅲ 意外と使えないはさみうちの原理（難易度☆☆…標準）
問題：数Ⅲー意外と使えないはさみうちの原理
以下の問いに答えよ。
問題解決のためのヒント
１番の問題について
まずは、問題の条件を把握しておきましょう。
不等式2n>1/6n3が成り立つことを二項定理を用いて示せ…
この問題はちょっとばかり親切ですね（笑）。
だって、第1歩目の解法を提示しているからです。「二項定理」を使って示してくださいと…。
二項定理の復習
では、せっかくなので二項定理がどんなものだったのか確認することにしましょう。
a ,bを定数、n,rを自然数とする。
このとき、(a+b)n=nC0an+nC1an-1b+……+nCran-rbr+……+nCnbn が成り立ち、
これを二項定理という。
この問題の場合、2n>1/6n3なので、上の式でa=b=1としてみれば、どうでしょうか。
1はn乗しようが1になるので、かなり式が簡単になりますね！
ということで、1番の問題は上の二項定理の式から、a=b=1として計算してみると、
nが自然数とき（n≧3）、不等式2n>1/6n3が成り立つことを二項定理を用いて示すことができるでしょう。
2番の問題について
では、今回の問題のメインであるはさみうちの原理を使う問題になります。
まあ、1番の問題は2番の問題を解きやすくするための（＝はさみうちの原理を使うための）お膳立てに過ぎないかもしれませんね。
lim(n→∞)n2/2nの値を求めよ…
1番の問題からn2/2nの形を作ることは簡単でしょう。
そして、今回の投稿記事にもあるように「はさみうちの原理」を使ってこの問題を解くのですが、
はさみうちの原理を使うには、「はさみうち」というだけに、求めたい関数を不等式ではさむ必要があります。
あまりヒントを与えすぎると、それはそれで良くないのでこれくらいにしときますが、
nは自然数でしたよね。（問題では、n≧3という前提がありました）
この情報だけでも、n2/2nに関する不等式がつくれますよね。
では、残りは自力で頑張ってください！
問題の解答
毎度のこと自分なりに分かりやすく手書きで作った解答を画像で示します。
一度自分なりにある程度解いてから、答えを確認するとより理解が深まりますよ。
どのような過程で問題を解いているのかをしっかりと確認してくださいね！
まとめ～他の問題もいろいろ解いてみよう！
皆さん、やってみてどうだったでしょうか。
今回は二項定理と不等式を立ててはさみうちの原理を利用することが分かれば、
解くことができた問題だったと思います。
とにかく、大切なことは実際に問題を解いてみて、どこが分からないのか。どこができないのか…
というように、いろいろ自分なりに考えて、そして自分の手で問題を解くことが何より、
数学ができるようになるための一つのステップになります。
とにかく、いろいろ自分なりに復習してほしいと思います。
あきらめずにコツコツ継続して学習することが最短の学力向上につながります！
「急がば回れ」の考え方ですね！
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では、今回はここまでにします。
最後まで見ていただきありがとうございました。
また、明日お会いしましょう。けいタン
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